机器之心编辑部
近日，AI 在数学领域取得了新的突破！
一家名为 Math, Inc. 的公司宣布其 Gauss 智能体已经完成了关于八维和二十四维空间中球体堆积最优解的定理形式化证明。
原始理论由玛丽娜・维亚佐夫斯卡及其团队在多年研究后提出，并且她也因此荣获了2022年的菲尔兹奖。
据悉，这是自本世纪以来首个被完全形式化验证的菲尔兹奖成果，也是迄今为止规模最大的单一用途 Lean 形式化项目。
Math, Inc. 在数学定理的形式化证明方面已有过成功案例。
该公司由 xAI 的前联合创始人、Morph Labs 首席科学家 Christian Szegedy 创立。Gauss 是一款专为协助数学专家进行形式化验证工作而设计的自动智能体。
去年，Gauss 在三周内完成了陶哲轩和 Alex Kontorovich 提出的数学挑战——在 Lean 定理证明器中完成强素数定理的形式化任务。
然而这一次，在处理高维球体堆积问题时，Gauss 展示了惊人的效率。
接下来，让我们深入了解这一进展。
人工智能与数学家合作的里程碑事件
在2022年7月，乌克兰数学家玛丽娜・维亚佐夫斯卡因其杰出贡献获得了国际数学界高度认可的菲尔兹奖。她是该奖项自设立以来第二位女性获奖者。
时隔四年，她的研究成果在人类与人工智能的合作下完成形式化验证，标志着AI辅助数学研究能力的巨大飞跃。
普林斯顿大学博士后、AI 推理专家 Liam Fowl 对此评论称这些成果令人印象深刻，并显示出该领域取得了快速进步。
维亚佐夫斯卡的研究中解决了两个版本的球体填充问题，探讨了在n维空间中，相同的圆或球体能以多大的密度进行排列？
在二维空间里，蜂窝结构是最佳方案；而在三维空间中，金字塔状堆叠则是最优解。但随着维度增加，寻找最优解并证明其正确性变得极其困难。
2016年，维亚佐夫斯卡解决了其中两种情况下的问题，她使用了一种强大的数学函数（准）模形式，并证明了E(8)排列是八维空间中的最佳填充方式。随后不久，她与合作者共同验证了Leech晶格在二十四维度下亦是最优解。
这些成果经过严谨的学术检验并被广泛接受，但由于计算机绝对验证能力的形式化验证尚未完成，其意义未能完全体现出来。
自2022年以来，在AI辅助的形式化证明领域取得了显著进步。维亚佐夫斯卡的研究成果如今已通过人机协作获得正式确认。
一次偶然的会面激发了新的合作项目
四年后，本科三年级学生 Sidharth Hariharan 在瑞士洛桑的一次偶遇让维亚佐夫斯卡重新对球体填充证明产生了兴趣。尽管 Hariharan 处于学术生涯初期阶段，但他已经掌握了形式化证明技巧。
Liam Fowl 表示，“将证明进行形式化验证就像盖上了权威认证的章”，这表明了推理陈述绝对正确性的确认。
于是，在2024年3月，基于 Hariharan 的建议，“在 Lean 中形式化球体填充”项目正式启动。Lean 是一种编程语言和证明助手，它允许数学家编写证明并由计算机验证其准确性。
该项目汇集了伦敦帝国理工学院的 Bhavik Mehta、英国东安格利亚大学的 Christopher Birkbeck 和加州大学伯克利分校的 Seewoo Lee 等专家。他们主要工作是整理维亚佐夫斯卡八维度证明的不同部分，并在 Lean 环境中进行形式化验证。
Sidharth Hariharan 回忆说，“从 2025 年中期开始，我们的项目代码库经历了大约15个月的建设期，在那之后不久，Math, Inc. 公司第一次联系了我们。”
AI 带来的加速
Math, Inc. 开发了一款名为 Gauss 的人工智能，专门用于自动形式化证明。它能够检索文献、调用工具，并使用计算机编写Lean代码。
该公司去年夏天宣布Gauss仅用了三周时间完成了强素数定理（PNT）在 Lean 中的形式化工作，而这项任务原本是菲尔兹奖得主陶哲轩和 Alex Kontorovich 的研究重点。此后，Math, Inc. 又与Hariharan及其团队分享了相关进展。
Gauss 智能体不仅完成了几个关键事实的证明，还发现了项目中的一处排版错误并进行了修正，极大地提高了项目的效率。
从八维到二十四维
然而，在那之后一段时间里，Gauss 的进展一度停滞。不过不久后新版 Gauss 被重新引入球体填充的形式化任务，并且基于 Hariharan 和合作者的蓝图和已有工作，它不仅完成了八维度的情况还发现了已发表论文中的一个排版错误。
当他们宣布在短短五天内完成二十四维度情况时，项目团队感到非常惊讶。此次成就不仅是自动形式化的分水岭时刻，也是人工智能与数学家紧密合作的成果展示。
2月23日，Gauss 宣布完成了八维球体堆积证明的形式化，这标志着人机协作和自动化形式化的里程碑时刻。
八维度和二十四维度的情况在理论基础及整体架构上有许多相似之处。然而，在处理二十四维度时，Gauss 面临着更大的挑战，“因为围绕水蛭晶格的很多属性需要被整合。” Jesse Han 解释道。
尽管证明过程自动化完成，Jesse Han 和 Hariharan 强调了人类贡献的重要性，并将此视为数学领域革命性变革开始的标志。
未来随着更多证明由AI系统产生，如何在全球范围内组织、整合并维护形式化知识将成为规模化发展的关键要求。Math, Inc. 将继续与球体堆积项目及其他形式化数学库合作，确保生成代码在未来仍具可用性和可维护性。
Gauss 在这一定理的验证过程中自主完成了大量关于模形式、离散几何、围道积分和傅里叶分析的重要结论，极大地加速了这一重大数学结果的证明过程。这标志着自动形式化领域的一项历史性成就。
Math, Inc. 认为，通过使已知成果可搜索、可组合且机器导航友好，数学形式化的应用将加快科研进程，并深化对数学知识统一性的理解——揭示看似无关领域的深层结构联系。
但一个无错误的编译证明并非终点。更艰巨的任务在于如何在全球范围内组织、整合并维护这一庞大的形式化知识体系，随着越来越多由AI产生的证明被纳入持续扩展且相互兼容的知识库中，这将变得愈发重要。
Math, Inc. 表示将继续与球体堆积项目及其他形式化数学库的合作，以确保未来代码的可用性和可维护性。
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展望未来
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